Scomponiamo l'espressione in due grandi blocchi e risolviamo un'operazione alla volta.
Prima di iniziare: leggiamo bene l'espressione
Questo esercizio sembra complicato perché contiene parentesi, frazioni, potenze dentro altre potenze e divisioni. La cosa importante è non cercare di fare tutto insieme.
La strategia:
separiamo l'espressione nei due grandi termini collegati dal segno +;
risolviamo completamente il primo blocco;
risolviamo completamente il secondo blocco;
alla fine sommiamo i due monomi ottenuti.
Attenzione ai segni: in questo esercizio compaiono molti segni meno. Ogni potenza pari o dispari può cambiare il risultato del segno, quindi li controlleremo sempre separatamente.
Piccola comodità:0,2 = 1/5. Trasformare subito il decimale in frazione rende i calcoli molto più facili.
Passaggio 1 – Primo grande blocco
BLOCCO A
[
0,2a3y2(-x)3:(-15axy)2]2
1A. Trasformiamo 0,2 in frazione
0,2 =15
Da questo momento useremo 1/5 al posto di 0,2.
1B. Calcoliamo la potenza di (−x)
(-x)3=
-x3
Perché resta il meno? L'esponente 3 è dispari: un numero negativo elevato a una potenza dispari rimane negativo.
1C. Calcoliamo il quadrato del divisore
(-15axy)2=
+125a2x2y2
Segno(−)² = +
Frazione(1/5)² = 1/25
Letterea², x², y²
1D. Moltiplichiamo il primo pezzo
15a3y2·(-x3)=
-15a3x3y2
1E. Eseguiamo la divisione dentro la parentesi quadra
-15a3x3y2:125a2x2y2
Dividiamo prima i coefficienti e poi la parte letterale.
Coefficienti−1/5 : 1/25 = −1/5 · 25 = −5
aa³ : a² = a³⁻² = a
xx³ : x² = x³⁻² = x
yy² : y² = y⁰ = 1
Dentro la parentesi quadra otteniamo:−5ax
1F. Attenzione: fuori dalla parentesi quadra c'è ancora il quadrato
[-5ax]2=
25a2x2
Risultato del BLOCCO A:25a2x2
Passaggio 2 – Secondo grande blocco: numeratore
BLOCCO B – PARTE SOPRA
{
-[-x3·(-a2)]2}3
2A. Prima facciamo il prodotto dentro la parentesi quadra
(-x3)·(-a2)=
+a2x3
Segno: meno per meno fa più.
2B. Eleviamo al quadrato la parentesi quadra
[a2x3]2=
a4x6
Gli esponenti si moltiplicano: (a²)² = a⁴ e (x³)² = x⁶.
2C. Non dimentichiamo il meno davanti alla parentesi quadra
-[a2x3]2=
-a4x6
Errore tipico: quel segno meno è fuori dalla parentesi quadra. Il quadrato riguarda la parentesi, ma il meno davanti resta.
2D. Ora eleviamo tutto al cubo
{-a4x6}3=
-a12x18
Segno(−)³ = −
a(a⁴)³ = a¹²
x(x⁶)³ = x¹⁸
Numeratore del BLOCCO B:−a12x18
Passaggio 3 – Secondo grande blocco: denominatore
BLOCCO B – PARTE SOTTO
[(12a5)2·x16]
3A. Calcoliamo il quadrato
(12a5)2=14a10
3B. Moltiplichiamo per x¹⁶
14a10·x16=14a10x16
Denominatore del BLOCCO B:14a10x16
Passaggio 4 – Divisione del secondo blocco
Ora il secondo grande blocco è diventato una semplice divisione tra due monomi.
-a12x18:14a10x16
Coefficienti−1 : 1/4 = −4
aa¹² : a¹⁰ = a²
xx¹⁸ : x¹⁶ = x²
-a12x18:14a10x16=
-4a2x2
Risultato del BLOCCO B:−4a2x2
Passaggio 5 – Somma finale
Abbiamo finalmente ridotto tutta l'espressione a due monomi molto semplici:
25a2x2+(-4a2x2)
Sono monomi simili, perché hanno la stessa parte letterale a²x². Quindi sommiamo soltanto i coefficienti:
(25 - 4)a2x2=
21a2x2
21a2x2
Controllo finale: i due grandi blocchi producono entrambi un monomio con parte letterale a²x². Questo rende possibile la somma finale e ci aiuta a controllare che non abbiamo perso qualche esponente durante i passaggi.
Riassunto della procedura da ricordare
Dividi mentalmente l'espressione in blocchi.
Risolvi prima le potenze più interne.
Controlla sempre il segno: potenza pari → positivo; potenza dispari → conserva il segno negativo.
Nelle moltiplicazioni di potenze con la stessa base, somma gli esponenti.
Nelle divisioni, sottrai gli esponenti.
Solo alla fine somma o sottrai i monomi simili.
Metodo pratico: non chiederti “come risolvo tutta questa espressione?”. Chiediti sempre soltanto: qual è la prossima operazione che posso fare senza saltare passaggi?