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Test 343 – Soluzione passo passo

Seguiamo l'ordine delle operazioni senza saltare nessun passaggio.

Prima di iniziare: qual è la strategia?

Questa espressione sembra lunga, ma non dobbiamo risolvere tutto insieme. La dividiamo in piccoli pezzi.

Ordine di lavoro:
  1. calcoliamo le potenze;
  2. eseguiamo le moltiplicazioni dentro la parentesi quadra;
  3. facciamo la sottrazione dentro la parentesi quadra;
  4. eseguiamo la divisione;
  5. sommiamo l'ultimo monomio e otteniamo il risultato.
Regola fondamentale: non andare avanti finché il passaggio precedente non è stato semplificato. In espressioni come questa gli errori nascono quasi sempre quando si provano a fare troppe cose contemporaneamente.

Espressione di partenza

[ ( - 32 x2y )2 · ( - 49 y2 )2 - ( + 32 xy )2 · ( + 23 xy2 )2 ] : ( 103 x2y3 ) + ( - 56 x2y3 )

La parte più importante è riconoscere che, dentro la parentesi quadra, ci sono quattro monomi elevati al quadrato. Quindi iniziamo proprio da quelli.

Passaggio 1 – Calcoliamo tutte le potenze

Quando un monomio è elevato al quadrato, eleviamo al quadrato il coefficiente e moltiplichiamo per 2 gli esponenti delle lettere.

Ricorda: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Inoltre un numero negativo elevato a una potenza pari diventa positivo: per esempio (-3)² = +9.

1A. Primo monomio

(- 32 x2y)2 = + 94 x4y2
Segno(−)² = +
Frazione(3/2)² = 9/4
Lettere(x²)² = x⁴ e y² = y²

1B. Secondo monomio

(- 49 y2)2 = + 1681 y4

Anche qui il segno diventa positivo perché stiamo facendo un quadrato. L'esponente di y passa da 2 a 4.

1C. Terzo monomio

(+ 32 xy)2 = + 94 x2y2

Quando una lettera non mostra l'esponente, l'esponente è 1. Quindi x² e y² derivano da x¹ e y¹ elevati al quadrato.

1D. Quarto monomio

(+ 23 xy2)2 = + 49 x2y4

Qui y aveva già esponente 2: elevando tutto al quadrato otteniamo y⁴.

Passaggio 2 – Moltiplicazioni dentro la parentesi quadra

Adesso i quadrati sono spariti: possiamo eseguire i due prodotti. Nei prodotti di monomi moltiplichiamo i coefficienti e sommiamo gli esponenti delle lettere uguali.

Regola: xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ.

2A. Prima moltiplicazione

(+ 94 x4y2) · (+ 1681 y4) = + 49 x4y6
Coefficienti9/4 · 16/81 = 4/9
xx⁴ resta x⁴, perché nel secondo monomio non c'è x
yy² · y⁴ = y⁶

Per le frazioni puoi semplificare prima di moltiplicare: 16 con 4 e 9 con 81. È più semplice e riduce il rischio di errori.

2B. Seconda moltiplicazione

(+ 94 x2y2) · (+ 49 x2y4) = + x4y6
Coefficienti9/4 · 4/9 = 1
xx² · x² = x⁴
yy² · y⁴ = y⁶

Passaggio 3 – Sottrazione nella parentesi quadra

I due risultati hanno entrambi la stessa parte letterale x⁴y⁶. Sono quindi monomi simili: possiamo sottrarre soltanto i coefficienti.

[ + 49 x4y6 - x4y6 ] = 4 - 99 x4y6 = - 59 x4y6

Perché compare 9? Perché 1 = 9/9. Quindi 4/9 - 1 = 4/9 - 9/9 = -5/9.

A questo punto l'espressione è diventata molto più corta:

(- 59 x4y6) : (103 x2y3) + (- 56 x2y3)

Passaggio 4 – Eseguiamo la divisione

Nella divisione di monomi dividiamo i coefficienti e sottraiamo gli esponenti delle lettere uguali.

Regola: xᵃ : xᵇ = xᵃ⁻ᵇ. Per dividere due frazioni, moltiplichiamo la prima per il reciproco della seconda.

4A. Coefficienti

(- 59) : (103) = - 59 · 310 = - 16

4B. Parte letterale

x4y6 : x2y3 = x4-2y6-3 = x2y3
Risultato della divisione: - 16 x2y3

Passaggio 5 – Ultima somma e risultato finale

Ora abbiamo soltanto due monomi. La parte letterale è identica, x²y³, quindi sommiamo i coefficienti.

- 16 x2y3 - 56 x2y3 = -1 - 56 x2y3 = - 66 x2y3

Poiché -6/6 = -1, il coefficiente -1 normalmente non si scrive: davanti al monomio resta soltanto il segno meno.

− x2y3
Controllo mentale: il risultato deve essere un monomio in x²y³, perché dopo la divisione otteniamo proprio quella parte letterale e l'ultimo termine dell'espressione è anch'esso in x²y³. Questo ci conferma che la somma finale è possibile.