Proprietà dei polinomi – Professoressa Amina

Idea fondamentale

Un polinomio è una somma algebrica di monomi

P(x) = 3x² − 2x + 5

Perciò molte proprietà dei polinomi derivano dalle normali proprietà di addizione e moltiplicazione. La cosa importante è capire quando puoi spostare, raggruppare o distribuire i termini senza cambiare il valore.

Proprietà 1

Commutativa dell'addizione: puoi cambiare l'ordine degli addendi

3x² + 5x − 2 = 5x + 3x² − 2

Il polinomio è lo stesso: abbiamo solo cambiato l'ordine dei termini.

Questa proprietà è molto utile per mettere vicini i termini simili.

Esempio

4x² + 3x − 2x² + 5x = 4x² − 2x² + 3x + 5x = 2x² + 8x

Proprietà 2

Associativa dell'addizione: puoi cambiare i raggruppamenti

(2x² + 3x) + (5x − 1) = 2x² + (3x + 5x) − 1

Questo permette di raccogliere i termini simili senza alterare il risultato.

2x² + 8x − 1

Proprietà 3

Commutativa e associativa del prodotto

Quando moltiplichi polinomi, puoi cambiare l'ordine dei fattori e il modo di raggrupparli.

(x+1)(x−2) = (x−2)(x+1)

[(x+1)(x−2)](x+3) = (x+1)[(x−2)(x+3)]

Attenzione: puoi cambiare l'ordine dei fattori, non quello di una sottrazione interna. x−2 non diventa 2−x.

Proprietà 4

Distributiva: la proprietà più importante nei polinomi

Un termine o un polinomio fuori dalla parentesi deve moltiplicare ogni termine dentro la parentesi.

3x(2x² − x + 4)

3x·2x² = 6x³
3x·(−x) = −3x²
3x·4 = 12x

3x(2x² − x + 4) = 6x³ − 3x² + 12x

Distributiva al contrario: la stessa proprietà serve anche per raccogliere un fattore comune: 6x³−3x²+12x = 3x(2x²−x+4).

Proprietà 5

Prodotto di due polinomi: ogni termine per ogni termine

(x + 2)(x + 3)

x·x = x²
x·3 = 3x
2·x = 2x
2·3 = 6

x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Controllo: se un binomio ha 2 termini e l'altro 2 termini, prima della riduzione avrai 2×2 = 4 prodotti.

Proprietà 6

Elemento neutro e opposto

0 nell'addizioneP(x) + 0 = P(x)

1 nella moltiplicazioneP(x) · 1 = P(x)

OppostoP(x) + [−P(x)] = 0

Esempio dell'opposto

P(x)=3x²−2x+5 ⇒ −P(x)=−3x²+2x−5

Errore tipico: quando davanti a una parentesi c'è il segno meno, devi cambiare tutti i segni dentro la parentesi.

Proprietà 7

Somma, differenza e prodotto restano polinomi

Se P e Q sono polinomi, allora P+Q, P−Q e P·Q sono ancora polinomi.

Somma(x²+1)+(2x−3)=x²+2x−2

Differenza(x²+1)−(2x−3)=x²−2x+4

Prodotto(x+1)(x−1)=x²−1

La divisione è diversa: dividendo due polinomi non ottieni sempre un polinomio. Per esempio 1:x = 1/x non è un polinomio.

Proprietà 8

Il grado: regole utili per controllare i risultati

Situazione	Regola	Esempio
Prodotto P·Q	i gradi si sommano	grado 2 · grado 3 → grado 5
Potenza Pⁿ	il grado si moltiplica per n	grado 2 elevato alla 3 → grado 6
Somma P+Q	il grado non supera il maggiore dei due	grado 4 + grado 2 → al massimo grado 4

Attenzione alla somma: il grado può diminuire per cancellazione. Esempio: (x³+1)+(−x³+x)=x+1. I termini di grado 3 si eliminano.

Proprietà 9

Ordinare un polinomio non ne cambia il valore

Puoi scrivere i termini in ordine decrescente di grado per vedere meglio la struttura.

5 − 2x³ + 4x − x²

Riordiniamo:

−2x³ − x² + 4x + 5

È lo stesso polinomio, ma ordinato è molto più facile da leggere e da confrontare con altri polinomi.

Proprietà 10

Valutare un polinomio: sostituire un numero a x

Se P(x)=2x²−3x+1 e vuoi P(2), sostituisci 2 a ogni x.

P(2)=2·2²−3·2+1=8−6+1=3

Le proprietà delle operazioni restano valide anche dopo la sostituzione: prima rispetta potenze, poi prodotti, poi somme e sottrazioni.

🧠 Procedura pratica da usare negli esercizi

Togli le parentesi usando correttamente la distributiva e i segni.
Riordina i termini per mettere vicini quelli dello stesso grado.
Riduci i termini simili.
Controlla il grado finale.
Se c'è un prodotto, verifica di aver moltiplicato ogni termine per ogni termine.

✏️ Prova tu

1. Riduci: 3x² + 5x − x² + 2x

Mostra la soluzione

Riordina: 3x²−x²+5x+2x = 2x²+7x.

2. Sviluppa: −2x(3x²−4x+1)

Mostra la soluzione

−2x·3x²=−6x³; −2x·(−4x)=+8x²; −2x·1=−2x. Risultato: −6x³+8x²−2x.

3. Moltiplica: (x+4)(x−2)

Mostra la soluzione

x²−2x+4x−8 = x²+2x−8.

4. Se P(x)=x²−2x+3, calcola P(−1).

Mostra la soluzione

(−1)²−2(−1)+3 = 1+2+3 = 6.