Un monomio è fatto di pezzi diversi
Per usare bene le proprietà dei monomi, conviene sempre separare mentalmente segno, coefficiente numerico e parte letterale.
−6a²b³
Segno−
Coefficiente6
Parte letteralea²b³
Metodo pratico: quando fai un'operazione, lavora prima sui numeri e poi sulle lettere. In questo modo gli errori diminuiscono tantissimo.
Prodotto di monomi: i coefficienti si moltiplicano, gli esponenti si sommano
(3a²b) · (−2ab³)
- Segni: + per − = −.
- Coefficienti: 3 · 2 = 6.
- Lettera a: a² · a = a²⁺¹ = a³.
- Lettera b: b · b³ = b¹⁺³ = b⁴.
(3a²b) · (−2ab³) = −6a³b⁴
Perché si sommano gli esponenti? Perché
a² = a·a e moltiplicando ancora per a ottieni tre fattori a: quindi a³.Commutativa del prodotto: puoi cambiare l'ordine
Nel prodotto l'ordine dei fattori non cambia il risultato.
(2x²)(−3xy) = (−3xy)(2x²) = −6x³y
Puoi quindi mettere i fattori nell'ordine che ti rende più comodo il calcolo.
Attenzione: questa proprietà riguarda il prodotto. Non puoi usarla per trasformare una sottrazione:
5−2 ≠ 2−5.Associativa del prodotto: puoi cambiare i raggruppamenti
Se devi moltiplicare tre o più monomi, puoi scegliere quali moltiplicare per primi.
(2x)(3x²)(−4y)
Modo A(2x·3x²)·(−4y) = 6x³·(−4y) = −24x³y
Modo B2x·(3x²·−4y) = 2x·(−12x²y) = −24x³y
Il risultato non cambia. Scegli il raggruppamento più semplice.
Potenza di un monomio: potenza al coefficiente, esponenti moltiplicati
(−2a³b²)²
- Segno: (−)² = +.
- Coefficiente: 2² = 4.
- a: (a³)² = a³·² = a⁶.
- b: (b²)² = b²·² = b⁴.
(−2a³b²)² = 4a⁶b⁴
Segni e potenze: esponente pari → il risultato del segno è positivo; esponente dispari → il segno negativo resta.
(−2x)³ = −8x³ mentre (−2x)⁴ = 16x⁴
Divisione di monomi: i coefficienti si dividono, gli esponenti si sottraggono
12a⁵b³ : (−3a²b)
- Segno: + : − = −.
- Coefficienti: 12 : 3 = 4.
- a: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³.
- b: b³ : b = b³⁻¹ = b².
12a⁵b³ : (−3a²b) = −4a³b²
Per restare un monomio, gli esponenti dopo la sottrazione devono essere numeri interi non negativi. Per esempio
x²:x³ = 1/x: il risultato esiste per x≠0, ma non è più un monomio nel senso scolastico usuale.Somma e sottrazione: si possono ridurre solo i monomi simili
I monomi sono simili quando hanno esattamente la stessa parte letterale.
5x²y − 2x²y + 7x²y
La parte letterale x²y è identica in tutti e tre i termini, quindi lavoriamo solo sui coefficienti:
(5 − 2 + 7)x²y = 10x²y
Non puoi fare:
3x² + 4x = 7x³. Le parti letterali x² e x sono diverse, quindi i due monomi non sono simili.Distributiva: un monomio moltiplica tutti i termini della parentesi
3x(2x² − 4x + 5)
- 3x · 2x² = 6x³
- 3x · (−4x) = −12x²
- 3x · 5 = 15x
3x(2x² − 4x + 5) = 6x³ − 12x² + 15x
Immagine mentale: il monomio fuori dalla parentesi deve “toccare” ogni termine dentro la parentesi.
Il grado si comporta in modo prevedibile
Queste regole sono molto utili per controllare se il risultato è plausibile.
| Operazione | Regola sul grado | Esempio |
|---|---|---|
| Prodotto | I gradi si sommano | grado 3 · grado 2 → grado 5 |
| Potenza | Il grado si moltiplica per l'esponente | (grado 3)² → grado 6 |
| Divisione | I gradi si sottraggono, se il quoziente è un monomio | grado 7 : grado 3 → grado 4 |
Esempio:
a²b ha grado 3. ab³ ha grado 4. Il prodotto a³b⁴ ha grado 7 = 3 + 4.🧠 Procedura universale da usare negli esercizi
- Guarda prima il segno.
- Calcola i coefficienti numerici.
- Lavora sulle lettere uguali usando gli esponenti.
- Ricontrolla il grado e i segni.
- Se stai sommando o sottraendo, verifica prima che i monomi siano simili.
✏️ Prova tu
1. Calcola:
(−3a²b)(4ab³)Mostra la soluzione
Segno: −. Coefficienti: 3·4=12. a²·a=a³. b·b³=b⁴. Risultato: −12a³b⁴.
2. Calcola:
(−2x³y²)³Mostra la soluzione
(−2)³=−8, x³·³=x⁹, y²·³=y⁶. Risultato: −8x⁹y⁶.
3. Calcola:
18a⁶b⁴ : (−6a²b³)Mostra la soluzione
18:(−6)=−3, a⁶:a²=a⁴, b⁴:b³=b. Risultato: −3a⁴b.
4. Riduci:
7x²y − 3xy² + 5x²y − 2xy²Mostra la soluzione
Raggruppa le due famiglie: (7+5)x²y + (−3−2)xy² = 12x²y − 5xy².