📖 Ripasso ultra breve del metodo
- Trova il dominio (valori che annullano il denominatore → esclusi).
- Trova dove numeratore e denominatore sono zero.
- Metti tutti i punti critici in ordine crescente su una retta.
- Crea la tabella dei segni.
- Applica la condizione (>0, <0, ≥0, ≤0).
- Escludi sempre i punti dove il denominatore = 0.
🧩 Esempio 1
Risolvi:
(x - 2) / (x + 1) ≤ 0
Punti critici: Numeratore = 0 → x = 2; Denominatore = 0 → x = -1
(-∞) ---(-1)---(2)---(+∞)
| Intervallo | x - 2 | x + 1 | Frazione |
|---|---|---|---|
| x < -1 | – | – | + |
| -1 < x < 2 | – | + | – |
| x > 2 | + | + | + |
Condizione (≤ 0): prendo dove la frazione è “–” o “0”.
Soluzione:
x ∈ (-1, 2] (escludendo x = -1 perché D=0).🧩 Esempio 2
Risolvi:
(x + 3)(x - 2) / (x - 4) ≥ 0
Punti critici: x = -3, 2 (numeratore), 4 (denominatore)
(-3)----(2)----(4)
| Intervallo | x + 3 | x - 2 | x - 4 | Frazione |
|---|---|---|---|---|
| x < -3 | – | – | – | – |
| -3 < x < 2 | + | – | – | + |
| 2 < x < 4 | + | + | – | – |
| x > 4 | + | + | + | + |
Condizione “≥ 0”: prendo i “+” e gli 0 del numeratore. D=0 → escluso.
Soluzione:
x ∈ [-3, 2] ∪ (4, +∞)🧩 Esempio 3
Risolvi:
(x² - 9) / (x - 2) < 0
Fattorizza: x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Punti critici: x = -3, 2, 3
| Intervallo | x - 3 | x + 3 | x - 2 | Segno finale |
|---|---|---|---|---|
| x < -3 | – | – | – | – |
| -3 < x < 2 | – | + | – | + |
| 2 < x < 3 | – | + | + | – |
| x > 3 | + | + | + | + |
Condizione “< 0” → prendo i segni negativi.
Soluzione:
x ∈ (-∞, -3) ∪ (2, 3) (escludendo x = 2 perché D=0).🧩 Esempio 4 (livello più alto)
Risolvi:
(2x - 1)(x + 2) / (x² - 9) ≥ 0
Fattorizza il denominatore: x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Punti critici: x = -3, -2, 1/2, 3
| Intervallo | 2x - 1 | x + 2 | x - 3 | x + 3 | Segno finale |
|---|---|---|---|---|---|
| x < -3 | – | – | – | – | + |
| -3 < x < -2 | – | – | – | + | – |
| -2 < x < ½ | – | + | – | + | + |
| ½ < x < 3 | + | + | – | + | – |
| x > 3 | + | + | + | + | + |
Condizione ≥ 0 → prendo “+” e zeri del numeratore (–2 e ½). Escludo –3 e 3 (denominatore).
Soluzione:
x ∈ (-∞, -3) ∪ [-2, ½] ∪ (3, +∞)⚠️ Attenzione agli errori tipici
- Non ordinare i punti critici sulla retta → tabella sbagliata.
- Dimenticare che i punti del denominatore sono sempre esclusi.
- Non considerare gli zeri del numeratore con ≥ o ≤.
- Confondere la moltiplicazione dei segni (due segni uguali → +, diversi → –).
💡 Mini-strategia per ricordare
“Fattorizza → trova i punti → segni → tabella → leggi i + o i –.”
✏️ Esercizi (livello avanzato)
(x - 4)(x + 1) / (x² - 9) > 0(x² - 4x) / (x - 5) ≤ 0(x + 2)(x - 3) / (x² - 16) ≥ 0(x - 1)(2x + 3) / (x² - 4x + 3) < 0(x² - 1)(x - 2) / (x - 3) ≥ 0
Scrivi dominio, punti critici, tabella dei segni e soluzione finale.
✅ Domanda di controllo (check)
Perché quando nel denominatore c’è un termine al quadrato (es. (x - 2)²), il suo segno non cambia mai?
Spiegalo con parole tue.
Suggerimento: perché il quadrato di un numero è sempre positivo o zero, quindi il segno del denominatore resta costante (non cambia segno passando da sinistra a destra).