📖 Spiegazione passo-passo
🔹 1️⃣ Quando si usa
Ogni volta che hai una frazione con x al denominatore, ad esempio:
(2x + 1) / (x - 3) > 0Non puoi “togliere” il denominatore → devi studiare i segni di numeratore e denominatore.
🔹 2️⃣ Idee fondamentali
- (+)/(+) = +
- (–)/(–) = +
- (+)/(–) = –
- (–)/(+) = –
Se entrambi (numeratore e denominatore) sono positivi o entrambi negativi → frazione positiva.
Se uno solo è negativo → frazione negativa.
Se uno solo è negativo → frazione negativa.
🔹 3️⃣ Costruisci la tabella dei segni
Esempio:
(2x + 1) / (x - 3) > 0
Passo 1 – Punti critici
- Numeratore = 0 →
2x + 1 = 0→x = -1/2 - Denominatore = 0 →
x - 3 = 0→x = 3 - Questi valori dividono la retta in tre intervalli.
Passo 2 – Disegna la retta
-----(-1/2)------(3)-----
Passo 3 – Tabella dei segni
| Intervallo | 2x + 1 (N) | x - 3 (D) | Segno frazione |
|---|---|---|---|
x < -1/2 |
– | – | + |
-1/2 < x < 3 |
+ | – | – |
x > 3 |
+ | + | + |
Passo 4 – Applica la richiesta (> 0)
Serve la frazione positiva, quindi prendo gli intervalli con segno “+”.
👉 Soluzione:
x < -1/2 oppure x > 3
Passo 5 – Escludi i punti con denominatore = 0
x ≠ 3 (mai incluso perché azzera il denominatore).
✅ Risultato finale
x ∈ (-∞, -1/2) ∪ (3, +∞)
🔹 4️⃣ Esempio con “≥ 0”
(x - 1) / (x + 2) ≥ 0
Punti critici: x = 1 (N = 0) e x = -2 (D = 0)
| Intervallo | x - 1 | x + 2 | Frazione |
|---|---|---|---|
x < -2 |
– | – | + |
-2 < x < 1 |
– | + | – |
x > 1 |
+ | + | + |
Cerco i “+” perché voglio ≥ 0, quindi includo anche dove la frazione è zero (cioè
x = 1).
Soluzione:
→
x ≤ -2 (no: escluso perché D=0)x = 1 (sì: incluso perché N=0)x > 1 (positivo)→
x ∈ (-∞, -2) ∪ [1, +∞) con -2 escluso.
⚠️ Attenzione agli errori tipici
- Dimenticare di escludere i punti dove il denominatore = 0.
- Dimenticare di includere i punti dove il numeratore = 0 (solo se c’è ≥ o ≤).
- Scrivere la soluzione ignorando i segni della tabella.
- Non ordinare i punti critici sulla retta prima di creare gli intervalli.
💡 Mini-strategia per ricordare
“Costruisci la tabella dei segni: due negativi fanno un positivo, due positivi pure; segno diverso fa negativo.”
✏️ Esercizi (livello medio)
Risolvi con il metodo dei segni, scrivendo tutti i passaggi:
(x - 3) / (x + 2) > 0(x + 1) / (x - 4) ≤ 0(2x - 5) / (x - 1) ≥ 0(x + 2) / (x² - 4) < 0(3x - 1) / (x + 1) > 0
Indica i punti critici, costruisci la tabella dei segni e scrivi la soluzione in forma di intervallo.
✅ Domanda di controllo (check)
Nella frazione (x - 5) / (x + 3) ≥ 0 spiega perché x = -3
non può mai appartenere alla soluzione, anche se in apparenza “fa diventare la frazione zero”.
Suggerimento: a
x = -3 il denominatore si annulla → valore non ammesso (fuori dal dominio).