Lezione 5 – Disequazioni frazionarie e dominio

📖 Spiegazione passo-passo

🔹 1️⃣ Cos’è una disequazione frazionaria

È una disequazione in cui la variabile x compare al denominatore di una frazione.

Esempio: (2x + 1) / (x - 3) > 0
Qui il denominatore (x - 3) può cambiare segno e per x = 3 diventa zero (vietato).

💡 Quando il denominatore è zero, la frazione non ha senso → quei valori sono esclusi dal dominio.

🔹 2️⃣ Cos’è il dominio

Il dominio è l’insieme di tutti i valori ammessi per x che non annullano il denominatore.

Esempio: (2x + 1)/(x - 3) > 0 → x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3.
👉 Dominio: ℝ \ {3} (tutti i reali tranne 3).

🔹 3️⃣ Perché non si può eliminare il denominatore

Molti pensano di “moltiplicare per (x - 3) e semplificare”. ❌ Sbagliato!
Non sai se (x - 3) è positivo o negativo: se fosse negativo, dovresti invertire il verso.

Ecco perché, nelle frazionarie, si studia il segno di numeratore e denominatore separatamente.

🔹 4️⃣ Strategia di base

Trova il dominio → escludi i valori che annullano il denominatore.
Segna i punti critici → dove numeratore o denominatore = 0.
Studia il segno → (lezione 6: “tabella dei segni”).
Unisci i risultati → dove la frazione è >0, <0, ≥0 o ≤0.

🧮 Esempio base

Risolvi: (x + 2) / (x - 1) > 0

Passo	Operazione	Esito
1️⃣ Dominio	`x - 1 ≠ 0`	`x ≠ 1`
2️⃣ Zeri	Numeratore = 0 → `x = -2` Denominatore = 0 → `x = 1`	Punti critici: `-2` e `1`
3️⃣ Retta	-2 1 \|---------\|---------\|
4️⃣ Segni	x < -2: num < 0, den < 0 → frazione > 0. -2 < x < 1: num > 0, den < 0 → frazione < 0. x > 1: num > 0, den > 0 → frazione > 0.
5️⃣ Soluzione	`(x + 2)/(x - 1) > 0` → `x < -2` oppure `x > 1` In intervalli: `(-∞, -2) ∪ (1, +∞)`

⚠️ Attenzione agli errori tipici

Dimenticare di escludere i valori che annullano il denominatore.
Moltiplicare per il denominatore senza studiarne il segno.
Scambiare i segni tra numeratore e denominatore.
Confondere il verso della disequazione (> o <).

💡 Mini-strategia per ricordare

“Prima guarda dove il denominatore muore, poi studia dove la frazione vive.”

✏️ Esercizi (livello base)

Trova il dominio di ciascuna disequazione (indica i valori da escludere):

(3x + 1) / (x - 5) ≥ 0
(x - 4) / (2x + 6) < 0
(x² - 9) / (x + 3) > 0
(2x - 1) / (x² - 4) ≤ 0
(x + 2) / (x - 3) ≥ 0

✅ Domanda di controllo (check)

Perché in una disequazione come (2x + 1) / (x - 3) > 0 non si può “moltiplicare tutto per (x - 3) ” come nelle equazioni?

Risposta attesa: perché (x - 3) può essere positivo o negativo; moltiplicando senza sapere il segno rischi di non invertire il verso quando necessario e di includere x = 3, che è escluso dal dominio.