1️⃣ Capire cosa stiamo disegnando
La nostra funzione è:
y = (x + 2) / (x - 1)È una funzione razionale (una frazione con la x al denominatore). Il grafico è formato da due rami con un asintoto verticale dove il denominatore si annulla.
Denominatore = 0 → x = 1 → dominio: ℝ \ {1}.
2️⃣ Passo 1 – Tracciare gli assi
Come sempre, disegniamo il piano cartesiano.
Canvas – Passo 1: solo assi
Assi pronti per il grafico della frazione.
3️⃣ Passo 2 – Segnare i punti notevoli
- Il grafico non esiste per x = 1 → disegniamo una linea tratteggiata verticale.
- Il numeratore è 0 per x = −2 → punto (−2, 0).
- L’asse x (y = 0) è asintoto orizzontale, perché per grandi valori di x, la frazione tende a 1.
Canvas – Passo 2: assi + asintoti + punto
Asintoto verticale in x = 1, punto d’intersezione con x = −2.
4️⃣ Passo 3 – Disegnare la funzione
La funzione y = (x + 2)/(x − 1) cresce e decresce in rami separati da x = 1:
- Per
x < 1, il denominatore è negativo → la funzione ha valori negativi o positivi a seconda del numeratore. - Per
x > 1, il denominatore è positivo → segno uguale al numeratore.
Canvas – Passo 3: grafico completo
Due rami della funzione ai lati dell’asintoto.
5️⃣ Passo 4 – Evidenziare dove la disequazione è vera
La disequazione chiede (x + 2)/(x − 1) > 0 → cerchiamo dove y > 0.
- Il numeratore cambia segno in
x = −2. - Il denominatore cambia segno in
x = 1.
Tabella dei segni:
| Intervallo x | Num | Den | Frazione |
|---|---|---|---|
| x < −2 | − | − | + |
| −2 < x < 1 | + | − | − |
| x > 1 | + | + | + |
Soluzione →
Intervallo:
x < −2 oppure x > 1Intervallo:
(−∞, −2) ∪ (1, +∞)
Canvas – Passo 4: zone y > 0 evidenziate
Zone verdi: dove la frazione è positiva (soluzioni della disequazione).
6️⃣ Riepilogo dei passi
- Trova dove il denominatore = 0 (qui x = 1) → escluso.
- Trova dove il numeratore = 0 (qui x = −2).
- Disegna asintoti e punti noti.
- Rappresenta i rami del grafico.
- Osserva dove il grafico è sopra l’asse x →
y > 0.
Ricorda: il grafico
Questi punti si rappresentano con linee tratteggiate verticali (asintoti).
y = N(x)/D(x) non esiste nei punti in cui D(x)=0.Questi punti si rappresentano con linee tratteggiate verticali (asintoti).