Rappresentazione grafica di una disequazione

1️⃣ Due modi di rappresentare una disequazione

Quando risolvi una disequazione puoi rappresentare le soluzioni in due modi:

Sulla retta reale (punti e frecce).
Sul piano cartesiano, con il grafico di una funzione (linee, parabole, ecc.).

💡 Idea chiave: una disequazione del tipo f(x) > 0 è vera nei punti in cui il grafico di y = f(x) sta al di sopra dell’asse x.

2️⃣ Ripasso veloce: retta reale

Se la soluzione è, ad esempio, x > 2, sulla retta reale disegni:

un cerchio vuoto in 2 (perché 2 non è compreso);
una freccia verso destra (tutti i numeri maggiori di 2).

<--- 0 --- 1 --- (2)o=====>

Se invece hai x ≥ 2, il cerchio diventa pieno (2 è compreso).

3️⃣ Dal grafico della funzione alla disequazione

Consideriamo la disequazione:

2x - 4 > 0

Passo 1 – Pensa a una funzione

Scrivi y = 2x - 4. È una retta che taglia l’asse x quando y = 0.

Passo 2 – Trova i punti in cui la funzione vale 0

Risolvi 2x - 4 = 0:

2x - 4 = 0 → 2x = 4 → x = 2
Il grafico passa per il punto (2, 0).

Passo 3 – Capisci dove la retta è sopra o sotto l’asse x

Per x > 2 la retta sta sopra l’asse x → y > 0.
Per x < 2 la retta sta sotto l’asse x → y < 0.

y
▲
│ /
│ / (sopra l'asse x → 2x-4 > 0)
│ /
├──────────────▶ x
2

Quindi la disequazione 2x - 4 > 0 è vera per x > 2.
Sulla retta reale: cerchio vuoto in 2 e freccia verso destra.

4️⃣ Disequazioni del tipo f(x) > 0

Per una disequazione generica f(x) > 0:

Disegna (o immagina) il grafico di y = f(x).
Trova i punti in cui il grafico tocca l’asse x → sono le soluzioni di f(x) = 0.
Guarda in quali intervalli il grafico è sopra l’asse x → lì f(x) > 0.
Se la disequazione è f(x) ≥ 0, includi anche i punti in cui il grafico sta esattamente sull’asse x.

“Sopra l’asse x” = valori positivi → f(x) > 0.
“Sotto l’asse x” = valori negativi → f(x) < 0.

5️⃣ Esempio con parabola (un po’ più avanzato)

Considera la disequazione:

(x - 1)(x + 2) ≥ 0

Passo 1 – Funzione associata

Pensa alla funzione y = (x - 1)(x + 2), che è una parabola con apertura verso l’alto.

Passo 2 – Zeri della funzione

La funzione vale 0 quando:

x - 1 = 0 → x = 1
x + 2 = 0 → x = -2

y
▲ ∩
│ / \ (sopra l'asse x fuori dall'intervallo tra -2 e 1)
│─────●───●────────▶ x
-2 1

Passo 3 – Dove è sopra/sotto l’asse x?

Per x < -2 la parabola è sopra l’asse x → y > 0.
Per -2 < x < 1 la parabola è sotto l’asse x → y < 0.
Per x > 1 la parabola è di nuovo sopra l’asse x.

Poiché vogliamo y ≥ 0, prendiamo dove la parabola è sopra l’asse x e dove lo tocca.
➜ Soluzione: x ≤ -2 oppure x ≥ 1.
In forma di intervallo: (-∞, -2] ∪ [1, +∞).

6️⃣ Disequazioni del tipo f(x) > g(x)

A volte la disequazione è del tipo f(x) > g(x), per esempio:

2x - 1 ≥ x + 3

Metodo 1 – Trasforma in f(x) > 0

Porta tutto a sinistra:

2x - 1 - (x + 3) ≥ 0 → 2x - 1 - x - 3 ≥ 0 → x - 4 ≥ 0 → x ≥ 4

Metodo 2 – Due grafici che si confrontano

Pensa alle due funzioni:

y₁ = 2x - 1 (retta 1)
y₂ = x + 3 (retta 2)

La disequazione 2x - 1 ≥ x + 3 significa: “i punti in cui il grafico di y₁ sta sopra o coincide con il grafico di y₂”.

y
▲ / (y₁ = 2x-1)
│ /
│ / / (y₂ = x+3)
│ / /
├────────────▶ x
4

Le due rette si incontrano in x = 4 (risolviendo l’equazione).
Per x ≥ 4 la retta y₁ sta più in alto di y₂ → è proprio la soluzione.

7️⃣ Collegamento con il metodo dei segni

Se hai già usato la tabella dei segni per trovare dove una funzione è positiva o negativa, in realtà hai già fatto una rappresentazione grafica “nascosta”.

La tabella dei segni ti dice dove la funzione è + o –.
Il grafico ti mostra la stessa informazione, ma in modo visivo.

8️⃣ Esercizi (da fare a mano su quaderno)

Disegna il grafico della retta y = 2x - 6 e rappresenta sullo stesso disegno la soluzione di 2x - 6 ≥ 0. Poi scrivi la soluzione come intervallo.
Considera la parabola y = (x - 1)(x + 3):
- Trova gli zeri della funzione.
- Indica dove il grafico è sopra l’asse x e dove è sotto.
- Scrivi la soluzione di (x - 1)(x + 3) > 0 come unione di intervalli.
Rappresenta graficamente la disequazione x + 1 < 4:
- Prima sulla retta reale.
- Poi come retta y = x + 1 rispetto alla retta orizzontale y = 4 (dove sta sopra? dove sotto?).
Disegna le rette y = x e y = 2 sullo stesso piano:
- Segna i punti in cui x ≥ 2 e spiega perché questi sono proprio i punti in cui y = x sta sopra la retta y = 2.
(Per chi vuole allenarsi di più) Prendi una delle disequazioni frazionarie delle lezioni precedenti, ad esempio (x + 2)/(x - 1) ≥ 0, e prova a immaginare/schizzare il grafico della funzione y = (x + 2)/(x - 1): dove sta sopra l’asse x? dove sotto?

✅ Domanda di controllo (check)

Se sai che il grafico di y = f(x) sta sopra l’asse x solo tra 1 e 4, cosa puoi dire sulla soluzione di f(x) > 0?
Scrivi la risposta in forma di intervallo e spiega a parole.