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🧠 LEZIONE 10 – Sistemi di Disequazioni

🎯 Capire, risolvere e interpretare i sistemi di disequazioni

📖 Cos’è un sistema di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni che devono essere vere contemporaneamente. La soluzione è quindi l’insieme dei valori che soddisfano tutte le condizioni del sistema.

Esempio:
{ x > 2
x ≤ 5 }

➜ la soluzione è l’intervallo (2, 5], cioè i valori di x maggiori di 2 ma minori o uguali a 5.

🔹 Come si risolve un sistema di disequazioni

  1. Risolvi ogni disequazione separatamente.
  2. Rappresenta ciascuna soluzione su una retta reale.
  3. Trova la parte comune (intersezione) fra gli intervalli.
💡 La soluzione finale è l’intersezione tra gli insiemi soluzione delle singole disequazioni.

🧩 Esempio 1 – Semplice

Risolvi il sistema:

{ x ≥ 1
x < 4 }

Soluzione 1️⃣: x ≥ 1 → [1, +∞)
Soluzione 2️⃣: x < 4 → (-∞, 4)

Intersezione → [1, 4)

🧩 Esempio 2 – Con frazione

{ (x + 2)/(x - 1) ≥ 0
x < 3 }

1️⃣ Risolvi la prima con il metodo dei segni:

Soluzione: x ≤ -2 oppure x > 1

2️⃣ Interseca con x < 3 → rimane

Soluzione finale: (-∞, -2] ∪ (1, 3)

🧩 Esempio 3 – Dal testo (tipo esercizio 259)

“La media tra un numero x e 10 è maggiore della media tra il doppio del numero e 2.”

Scriviamo in forma di disequazione:

(x + 10)/2 > (2x + 2)/2

Semplifica:

x + 10 > 2x + 2
8 > x → quindi x < 8

Soluzione: x < 8

🧮 Esempio 4 – Sistema completo

{ 2x - 5 > 1
x/2 + 3 ≤ 6 }

➜ Prima disequazione: 2x > 6 → x > 3
➜ Seconda disequazione: x/2 ≤ 3 → x ≤ 6
Intersezione: (3, 6]

💡 Mini-strategia

“Risolvi ➜ rappresenta ➜ interseca ➜ scrivi l’intervallo.”

✏️ Esercitazioni (allenamento)

  1. Risolvi il sistema:
    { x - 3 > 2
    2x + 1 ≤ 7 }
  2. Risolvi e rappresenta sulla retta:
    { (x + 1)/(x - 2) ≥ 0
    x < 4 }
  3. “Il triplo di un numero aumentato di 2 è minore del suo doppio aumentato di 13.”
    ➜ Imposta la disequazione e risolvi.
  4. “La somma di un numero e del suo doppio aumentata di 1 è maggiore di 3.”
    “La differenza tra il triplo di x e 8 è maggiore di x aumentato di 2.”
    ➜ Risolvi il sistema (come nel problema 262 della foto).
  5. “La somma di due numeri consecutivi è maggiore del primo aumentato di 3.”
    ➜ Scrivi il sistema che descrive la condizione e trova i valori interi.

✅ Domanda di controllo (check)

Perché nella soluzione di un sistema di disequazioni si fa sempre l’intersezione e non l’unione degli intervalli?

Perché un sistema impone che tutte le condizioni siano vere contemporaneamente. L’unione si usa invece quando basta che ne sia vera almeno una.